Numeri Perfetti

(Fonte: Wikipedia)

• Un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso sé stesso. Ad esempio, il numero 28, divisibile per 1, 2, 4, 7, 14 è un numero perfetto (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14): lo stesso per 6 che è divisibile per 1, 2 e 3.
• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivelò che se 2n+1 - 1 è un numero primo, allora 2n · (2n+1 - 1) è perfetto. Successivamente Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma.
• Esempio: 6 = 21 · (22 - 1)
• Da questo risulta che ogni numero perfetto pari è necessariamente:
• 1) un numero triangolare, visto che si può scrivere

• 2) un numero esagonale, visto che si può scrivere

• I primi 10 numeri perfetti sono:

  # 6
  # 28
  # 496
  # 8128
  # 335.50336 (8 cifre)
  # 85898.69056 (10 cifre)
  # 13.74386.91328 (12 cifre)
  # 2305.84300.81399.52128 (19 cifre)
  # 26.58455.99156.98317.44654.69261.59538.42176 (37 cifre)
  # 1915.61942.60823.61072.94793.37808.43036.38130.99732.15481.69216 (54 cifre)

• L'undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 279 cifre. Non si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito, né se esistano numeri perfetti dispari (quelli conosciuti sono tutti pari). Se la somma dei divisori è maggiore del numero, esso si dice abbondante, se risulta minore, verrà chiamato difettivo. Benché esistano infiniti numeri lievemente difettivi, cioè difettivi solo per un'unità, ad esempio 4, i cui divisori sono 1 e 2, la cui somma è uguale a 3, nessuno è ancora riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti.

• Più in generale, i numeri lievemente difettivi sono uguali a:

  2n · 2n+1

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